An extension of Greenberg's theorem to general valuation rings

We extend Greenberg's strong approximation theorem to schemes of finite presentation over valuation rings with arbitrary value group, using the ultraproduct method of Becker, Denef, Lipshitz and van den Dries. As an application, we prove a closed image theorem (in the strong topology on rational points) for proper morphisms of varieties over valued fields.Comment: 15 pages, dedicated to Jan Denef; Manuscripta mathematica, 2011. The final article is avaliable at springerlink.com: http://www.springerlink.com/openurl.asp?genre=article&id=doi:10.1007/s00229-011-0510-

Diophantine Undecidability of Holomorphy Rings of Function Fields of Characteristic 0

Let $K$ be a one-variable function field over a field of constants of characteristic 0. Let $R$ be a holomorphy subring of $K$, not equal to $K$. We prove the following undecidability results for $R$: If $K$ is recursive, then Hilbert's Tenth Problem is undecidable in $R$. In general, there exist $x_1,...,x_n \in R$ such that there is no algorithm to tell whether a polynomial equation with coefficients in \Q(x_1,...,x_n) has solutions in $R$.Comment: This version contains minor revisions and will appear in Annales de l Institut Fourie

Sur la définissabilité existentielle de la non-nullité dans les anneaux

16 pages, PDF avec liens hypertexte. Révisé le 18/09/2007. Accepté pour publication dans «Algebra & Number Theory» le 19/10/2007.International audienceOn étudie les anneaux (notamment noethériens) dans lesquels l'ensemble des éléments non nuls est existentiel positif (réunion finie de projections d'ensembles « algébriques »). Dans le cas noethérien intègre, on montre notamment que cette condition est vérifiée pour tout anneau qui n'est pas local hensélien, et qu'elle ne l'est pas pour un anneau local hensélien excellent qui n'est pas un corps. Ces résultats apportent au passage une réponse à une question de Popescu sur l'approximation forte pour les couples henséliens

Elliptic curves and Hilbert's tenth problem for algebraic function fields over real and p-adic fields

Let k be a field of characteristic zero, V a smooth, positive-dimensional, quasiprojective variety over k, and D a nonempty effective divisor on V. Let K be the function field of V, and A the semilocal ring of D in K. In this paper, we prove the Diophantine undecidability of: (1) A, in all cases; (2) K, when k is (formally) real and V has a real point; (3) K, when k is a subfield of a p-adic field, for some odd prime p. To achieve this, we use Denef's method: from an elliptic curve E over Q, without complex multiplication, one constructs a quadratic twist E' of E over Q(t), which has Mordell-Weil rank one. Most of the paper is devoted to proving (using a theorem of R. Noot) that one can choose f in K, vanishing at D, such that the group E'(K) deduced from the field extension K/Q(f)=Q(t) is equal to E'(Q(t)). Then we mimic the arguments of Denef (for the real case) and of Kim and Roush (for the p-adic case).Comment: 73 pages, LateX2e with hyperref, 1 Postscript figure. v2: Forgotten assumption added in statement of Theorem 1.1 (the result as stated in the abstract is correct). v3: accepted for publication in Crelle's Journal; minor typos corrected, references updated, error corrected in Proposition 2.6.

Actions algébriques de groupes arithmétiques

Nous obtenons un résultat général de finitude pour le H1 de certains schémas en groupes linéaires sur les anneaux de (S-)entiers des corps globaux

Une construction d'extensions faiblement non ramifiées d'un anneau de valuation

13 pages, in FrenchGiven a valuation ring $V$, with residue field $F$ and value group $\Gamma$, we give a sufficient condition for a local ring dominating $V$ to be a valuation ring with the same value group. When $V$ contains a field $k$, we apply this result to the problem of constructing a valuation ring $W$ containing $V$ and a prescribed extension $k'$ of $k$, with value group $\Gamma$ and residue field generated by $k'$ and $F$; this is possible in particular when either $k'$ or $F$ is separable over $k$.Étant donné un anneau de valuation $V$, de corps résiduel $F$ et de groupe des valeurs $\Gamma$, on donne une condition suffisante pour qu'un anneau local dominant $V$ soit un anneau de valuation de groupe $\Gamma$. Lorsque $V$ contient un corps $k$, ce résultat est appliqué à la construction d'un anneau de valuation contenant $V$ et une extension donnée $k'$ de $k$, de groupe $\Gamma$ et de corps résiduel engendré par $k'$ et $F$. Cela s'avère possible, notamment, lorsque $k'$ ou $F$ est séparable sur $k$